Solución problema 1 da fase final galega 2010: O tren

    Primeiro averiguamos cantas paradas ten o tren . Se baixan 3 persoas ( 2 homes e unha muller) e soben 4 ( 4 nenos) , a cantidade de pasaxeiros aumentará en 1 en cada parada. Como 143 – 134 = 9 , detense 9 veces.

    Baixarán entón 2x9 = 18 homes ,   1x9 = 9 mulleres     e  subirán   9x4 = 36 nenos

    Se lle damos á cantidade de homes que hai ao final do traxecto o valor de x , os nenos serán  1’5 . x    e as mulleres  0’75 . x

    Polo tanto :   0’75 x + x + 1’5 x   =  143      ,     3’5 x = 143       ,    x  = 44

   Ao final del traxecto haberá :

              44  homes   ,  1’5 x 44 =  66 nenos    e   0’75 x 44 = 33 mulleres

Polo tanto o número que había cando partiron era .

         44 + 18  = 62    homes     ;     33 + 9   = 42 mulleres      ;    66 – 36 = 30 nenos

Solución problema 2 da fase final galega 2010: Pintando murais

Na segunda metade da 1ª xornada a metade dos alumnos farán a metade do traballo que o grupo enteiro, polo que do mural grande a metade dos alumnos pintarán 1/3 (por 2/3 que terían pintados o grupo completo).

                                         Mural grande                      Mural pequeno

Así pois, o outro medio equipo pintará 2/3 do mural pequeño en ½ xornada.

Logo, se 1 alumno pinta 1/3 do mural pequeño nunha xornada, farna falta 2 para píntalo en ½ xornada, polo que farán falta 4 alumnos para pintar os 2/3 do mural pequeño en ½ xornada, que son ½ equipo, polo que o equipo completo serán 8 alumnos.

Solución problema 3 da fase final galega 2010: Un xardín

             A            F                B

                        E

D                         G                         C

      Hai unma solución rápida se nos damos conta de que os triángulos AEB  e  EFB son rectángulos e isósceles (basta ver que os seus ángulos  agudos son todos de 45º).

Entón EF = FB  e o mesmo ocorre na base maior.

Polo tanto a altura mide   6 + 10 = 16 m.

Logo a área do trapecio será :   A =  ½  ( 12 + 20 ) . 16   = 256 m

·         Si  non vemos isto : podemos aplicar dúas veces o teorema de Pitágoras

      primeiro ao triángulo isósceles AEB , para  calcular EB = EA :

                            EB ²  +  EA ² = 144             EB ² = 72

      despois o aplicamos ao triángulo EFB para calcular  EF :

                            EB ²  = EF ² + FB ²      ,      EF ²  =   72 – 36 = 36     ,     EF = 6 m

Da mesma forma calcula   EG = 10m

Sumando os dous resultados : a altura será 16 m y el área 256 m²

Solución problema 4 da fase final galega 2010: Os caramelos

a)    Os caramelos repartidos foron en total:

20 + 9 + 10 = 39

En tódalas carreiras repártese o mesmo número de caramelos, así pois o número de carreiras ten que ser divisor de 39:

{ 1, 3, 13, 39}

Analizamos os distintos casos:

         A única posibilidade é que se celebrasen 3 carreiras.

b) En cada carreira repártense pois 13 caramelos.

c) Sabemos que o terceiro clasificado leva un caramelo e en total reparten 13. Así:

P +S = 12

Estudiando os distintos casos chegamos á conclusión que o primeiro leva 8 caramelos e o segundo 4

Solución problema 5 da fase final galega 2010: Os dous dados

Casos posibles 36:

b) Salir  6 o 1:  20

Contrario: 16 

a) Dos pares o dos impares: 18  

Contrario: 18  

c) Dos iguales:  6  

Contario: 30