Solución problema 1 da fase final galega 2009: Un zoolóxico de cor topacio

O cadrado  dese número de tres cifras (ZOO) ten cinco cifras (TOPAZ), polo que a primeira delas, a Z, ten que ser 1, 2 o 3, xa que se fora maior o cadrado tería seis cifras. Pero a cifra Z é tamén coa que acaba o número de cinco cifras, e non hai ningún número  tal que o seu cadrado acabe en 2 nin en 3. Polo tanto, Z = 1.

En consecuencia, para que o cadrado sexa de cinco cifras, á letra O correspóndelle o 9, quedando así o resultado: (199)² = 39601

Logo A = 0

Solución problema 2 da fase final galega 2009: Apostas

a) Temos que calcular cantas combinacións resultan para obter cada resultado, dende o menor, que é 3 (1, 1, 1: una única posibilidade) ata o maior, que é 18

(6, 6, 6: una única posibilidade).

Os posibles resultados son: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

b) Ten máis probabilidades de gañar Xosé.

c) Apostaría ó  10 xa que é o que ten máis posibilidades de saír.

Solución problema 3 da fase final galega 2009: Baldosas

5=3+2

15=8+7

A anchura, 15, é a suma de (15+1)/2  y  (15-1)/2.

nº de baldosas brancas é: ((15+1)/2)²

nº de baldosas negras: ((15-1)/2)²

Polo tanto, como 85=43 + 42, o nº de baldosas será 43² e 42².

E para unha anchura n, o número total  é: ((n+1)/2)² + ((n-1)/2)²

Solución problema 4 da fase final galega 2009: Suma de produtos

Todos os que levan 0 valen 0

p(1) = 1      p(2)=2      p(3) = 3 ........................................ p (9) =9

p(11) = 1.1     p(12 ) = 2.1    ......................................    p(19) = 1. 9

p(21) = 2.1     p(22) = 2.2 .........................................     p(29= = 2.9

...................................................

a) p(1) + ............... + p(10) = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

b) p(31) + p(32) +........... + p(40) = 3+6+9+............+ 27 = 3 (1+2+..... + 9 ) = 3.45 = 135

c) p(1) + ................ + p(100 ) =  45 + 1. 45 + 2 . 45 + .............. + 9 . 45  =

                                          = 45 ( 1+1+2+3+..........+9) = 45 . 46 = 2070

d) p(101) + ................ + p(200) =  0 + p(11-) + p(12-) + ............. + p(19-) =

                                              = 0 + (1+2.......+9) + 2 . (1+2+.....+9) +...........  9(1+2+.....+9) =

                                              = 45 . (1+2+.......+9 ) = 45.45 = 2025

Solución problema 5 da fase final galega 2009: Un círculo nun triángulo

    altura do triángulo:  

     área do triángulo    

    área dun dos triángulos pequenos=

   polo tanto

 e

   cm