Olimpíada Matemática galega para 2º de ESO

SOLUCIÓNS PROBLEMAS FASE FINAL 2005

Solución problema 1 da fase final galega 2005: Moito dezaoito
  • Para ser múltiplos de 18 teñen que ser múltiplos de 2 e de 9.
  • Todos son múltiplos de 2 por rematar en 8.
  • A suma das dúas primeiras cifras ten que ser múltiplo de 9, xa que a suma das dúas últimas suman nove.
  • Polo tanto escribimos de xeito ordenado tódalas posibilidades.

1818

6318

2718

7218

3618

8118

4518

9018

5418

9918

10 números en total

 

 

Solución problema 2 da fase final galega 2005: Moito dezaoito
Unha posible solición sería:
  • A altira que buscamos é as 3/4 partes da diagonal do cadrado.
  • Podemos calcular a diagonal utilizando o Teorema de Pitágoras:

  • A altura será, polo tanto:

 

Solución problema 3 da fase final galega 2005: Potencias de tres
Construímos unha serie de potencias de tres buscando regularidades:

Exponente

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Potencia

1

3

9

27

81

243

729

2187

6561

...
  • As terminacións repítense en períodos de catro
  • Expoñente:

Exponente

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Terminación

1

3

9

7

1

3

9

7

1

...
  • O expoñente 2005 corresponde a posición 2006: 2006:4= 501, Resto=2
  • 2º lugar do período 502, logo rematará en 3.

 

Solución problema 4 da fase final galega 2005: Potencias de tres
Repetindo tres veces a zona común dos dous polígonos fórmase un triángulo.
  • Ese triángulo é a metade da área do hexágono pequeno.
  • É a sexta parte do hexágono grande.
  • Polo tanto, o hexágono grande será o triple do pequeno e o pequeno será 1/3 do grande.

O cociente pedido é 1/3

 

Solución problema 5 da fase final galega 2005: a leira de Farruco
Triangulando o plano da leira obtemos:

 

T1

Lado

AB

BF

AF

Medida no plano

3,9 cm

4,6 cm

3,3 cm

Medida real

7,8 m

9,2 m

6,6 m

 

 

T2

Lado

BF

BC

CF

Medida no plano

4,6 cm

4,2 cm

4,2 cm

Medida real

9,2 m

8,4 m

8,4 m

 

 

T3

Lado

CF

CD

DF

Medida no plano

4,2 cm

6 cm

6 cm

Medida real

8,4 m

12 m

12 m

 

 

T4

Lado

DF

DE

EF

Medida no plano

6 cm

5,4 cm

2,8 cm

Medida real

12 m

10,8 m

5,6 m

Finalmente só queda aplicar a fórmula de Herón:

  • En total pois 135,02 m2
  • O valor do solar será 135,02·900=121518 €